Los 'Diablos Rojos', que dominaban 3-0 a falta de 20 minutos para el final, vieron cómo su rival de la Segunda división inglesa igualaba en el tiempo añadido y enviaba el partido a la prórroga y los penaltis.
El danés Rasmus Hojlund, con el último lanzamiento, enterró las esperanzas del actual octavo clasificado de la Championship, que erró dos lanzamientos desde los 11 metros después haberse puesto por delante en la tanda tras un fallo del brasileño Casemiro.
Los 'Red Devils' tratarán de tomarse la revancha el 25 de mayo en Wembley sobre su vecino, el City, que le derrotó 2-1 en la última final de Copa, el pasado mes de junio en el norte de Londres.
El campeón de la FA Cup se aseguraría, además, el billete para la próxima Europa League, una oportunidad de oro para el actual séptimo clasificado en la Premier.
El equipo dirigido por Erik ten Hag se benefició primero de las lagunas defensivas del rival y luego pagó las propias.
Scott McTominay (23', 1-0), solo ante el arco vacío, empujó un centro potente de Diogo Dalot. Harry Maguire (45'+1, 2-0) aprovechó un fallo en la marca para rematar de cabeza un córner de Bruno Fernandes, el goleador 3-0 en el minuto 58.
El Coventry City lanzó su remontada por medio de Ellis Simms (71', 3-1), el sexto gol en los tres últimos partidos de la 'Cup' para el delantero de 23 años.
Después, el lateral izquierdo del United Aaron Wan-Bissaka desvió a su propia portería un disparo de Callum O'Hare (79', 3-2), antes de cometer una mano en el tiempo añadido dentro del área que derivó en el empate de penalti del delantero estadounidense Haji Wright.
En la prórroga, el modesto conjunto estrelló un balón al larguero (116') y marcó un gol por medio de Victor Torp (120'+1) que fue anulado por el VAR por fuera de juego previo del pasador.