Moore se deshizo de un bogey inicial con un eagle y cinco birdies en su 64 bajo par en el Memorial Park Golf Course.
Furr, en el puesto 276 del ranking, le acompañó en lo alto de la tabla y jugó sus últimos cinco hoyos en cuatro bajo par, con un eagle en el quinto y birdies en el octavo y el noveno para cerrar su ronda.
Scheffler, tratando de convertirse en el primer jugador desde Dustin Johnson en 2017 en ganar tres salidas consecutivas en el PGA Tour, había marcado el ritmo durante gran parte del día mientras se sacudía "un poco el óxido" de su semana de descanso la semana pasada.
Scheffler falló el green en sus tres primeros hoyos, pero subió y bajó para par en cada uno de ellos antes de embocar un putt de 12 pies para birdie en el 13º.
Añadió birdies en los hoyos 17, 2, 3 y 5, y aunque sólo embocó 11 de los 18 greens en regulación, sólo necesitó 25 putts.
"Hice una vuelta sólida", dijo Scheffler. "Estar libre de bogeys siempre es bueno, especialmente en un campo de golf como éste. Es agradable poder mantener la tarjeta limpia".
Fue la 28ª ronda consecutiva de Scheffler bajo par para empezar el año, la mayor cantidad registrada desde 1983 según el PGA Tour.
Quizás lo más importante es que Scheffler, que necesitó tratamiento en el cuello en su camino hacia la victoria en el Players Championship, dijo que se sentía bien en su puesta a punto final para el Masters.
"El cuello se siente mejor, el cuerpo se siente bien", dijo Scheffler. "La semana de descanso me vino bien para descansar y rehabilitarme. Me tomé un par de días más de lo normal la semana pasada, así que fue un buen tiempo de recuperación".
La victoria de Scheffler en el TPC Sawgrass siguió a su triunfo por cinco golpes en Bay Hill, su primera victoria en casi un año.
Está recuperando la forma con el primer major del año acercándose en dos semanas en Augusta National, donde Scheffler ganó en 2022.
Scheffler quedó tercero empatado con sus compatriotas Davis Riley y Joe Highsmith. Riley hizo seis birdies y un eagle para superar un bogey y un doble-bogey, mientras que Highsmith hizo seis birdies y un bogey.
Moore, que se quedó corto en su defensa del título en el Valspar Championship la semana pasada, se deshizo de un bogey inicial con un eagle desde el chip en el tercero.
Después de tres birdies más en los primeros nueve hoyos, hizo birdies en el 15 y el 16 para ponerse en cabeza.
"Golpeé muchos greens", dijo Moore. "Después del primer hoyo, intenté ver cuántos greens podía golpear. Empecé con buen pie en el tres, metí un chip para eagle en el tres e hice birdie en el cuatro. Me metí en la ronda".
Furr salió desde el tee del 10 y estaba uno bajo par en sus primeros nueve golpes. Tras un birdie en el tercero, embocó desde la calle para un eagle en el quinto y cerró con birdies en el octavo y el noveno.