Tras una fase inicial de presión de Kosovo, los visitantes empezaron a asentarse en el partido, aunque sin arriesgar en ataque, intentando evitar cualquier opción de contraataque.
Eso hizo que las ocasiones fueran escasas, y Chiedozie Ogbene remató muy por encima del larguero tras recibir un buen pase de James Abankwah.
Esa acción resultó clave en la primera parte, ya que espoleó al conjunto local, que se volcó sobre la portería de Caoimhin Kelleher.
De hecho, el portero del Brentford no pudo hacer nada poco antes de la media hora, cuando Muriqi disparó con potencia al palo bajo, pero un sensacional despeje de Jayson Molumby evitó el gol.
Cinco minutos después fue necesaria otra salvada bajo palos; esta vez fue Dara O'Shea quien apareció en el segundo palo para despejar el remate de Veldin Hodza que iba directo a gol.
Al llegar al descanso, los irlandeses no lograban salir de su campo, aunque el marcador seguía en cero gracias a Kelleher, que desvió de forma espectacular un cabezazo bombeado de Muriqi.
El inicio de la segunda parte fue mucho más abierto, con Troy Parrott rematando de cabeza directamente a las manos de Arijanet Muric, mientras que Hodza rozó el poste en la otra portería minutos después.
Con el partido sin ocasiones claras, los locales por fin lograron generar una gran oportunidad para abrir el marcador en el minuto 66.
Baton Zabergja mostró potencia por la banda izquierda para imponerse a Jake O'Brien antes de internarse en el área, pero su pase atrás fue rematado alto y desviado por Edon Zhegrova.
Cuando todo apuntaba a un empate, el capitán Muriqi apareció para rematar de cabeza con valentía y marcar el gol de la victoria a bocajarro, tras un disparo desviado por Molumby al larguero.
La derrota amplía la preocupante racha a domicilio de la República de Irlanda, que solo ha logrado una victoria en sus últimos siete partidos fuera (2 empates, 4 derrotas), y su próximo encuentro ante Israel tampoco se disputará en casa.
Por su parte, Kosovo se muestra muy sólido como local, con ocho victorias en sus últimos 11 partidos, aunque su nivel en el grupo será puesto a prueba en su próxima visita a Austria.
Jugador Flashscore del Partido: Vedat Muriqi (Kosovo)