El equipo de Slot se adelantó en la primera parte con un gol de Salah de penalti, señalado después de que Cody Gakpo pareciera tropezar con sus propios pies en lugar de caer tras una entrada de Lewis Cook.
El Bournemouth se indignó después de que la decisión del árbitro Darren England sobre el terreno de juego fuera confirmada por el VAR.
A David Brooks, del Bournemouth, se le negó el empate por un fuera de juego igualmente ajustado contra Milos Kerkez en la jugada previa.
Salah puso la guinda al pastel para el Bournemouth cuando volvió a marcar al final de la segunda parte para ampliar la ventaja del Liverpool sobre el Arsenal, segundo clasificado.
El delantero egipcio lleva 21 goles en 23 partidos de liga esta temporada, alcanzando la veintena por quinta vez en su carrera en la máxima categoría del fútbol inglés.
El Liverpool lleva 19 partidos de liga invicto y ha ganado 17 de sus 23 encuentros en la máxima categoría, en una racha extraordinaria desde que Slot sustituyó a Jürgen Klopp a finales de temporada.
Persiguiendo un título número 20, récord en Inglaterra, y su primero en la competición desde 2020, el Liverpool puede sentarse y esperar a ver si su viejo rival, el Manchester City, le hace un favor contra el Arsenal el domingo.
"Si quieres ganar aquí quizá necesites un poco de suerte porque los márgenes son muy pequeños", dijo Slot.
"Nuestro penalti no era fuera de juego, su gol en el 1-1 estaba en fuera de juego, ellos tiraron dos veces al poste.
"Nosotros también tuvimos nuestras ocasiones, pero nos faltó muy poco para ganar este partido. No tuvimos mala suerte, digámoslo así".
El Bournemouth ya había ganado en casa esta temporada al Manchester City, al Arsenal y al Nottingham Forest, un equipo de altos vuelos.
Slot reconoció que los Cherries habían puesto al Liverpool ante una de sus pruebas más duras esta temporada, con Antoine Semenyo y Marcus Tavernier estrellando sendos disparos contra la madera.
Semenyo también fue rechazado por una magnífica parada del portero del Liverpool , Alisson Becker, mientras que la racha de 11 partidos invicto del Bournemouth en la liga llegó a su fin.
"No lo he vuelto a ver, pero uno de mis jugadores está en un claro uno contra uno con el portero y se ha caído", dijo Slot sobre el incidente del penalti de Gakpo.
"Así que o se tira o le tocan. Si le tocan, para mí es penalti".
"Se me ocurren tres, cuatro o cinco ejemplos en los que no hemos tenido la suerte o la decisión que merecíamos esta temporada.
"Eso es siempre lo difícil en el fútbol, la gente siempre dirá que hay esa suerte para el Liverpool o para el que es el número uno en este momento".
Trent Alexander-Arnold tuvo que retirarse lesionado en la segunda parte y Slot dijo que se sorprendería si el defensa está en forma para el partido de vuelta de semifinales de la Copa de la Liga del jueves contra el Tottenham.
ElLiverpool, que persigue el cuádruplete, intentará remontar el 1-0 de la ida cuando el equipo de Ange Postecoglou visite Anfield.