El técnico australiano corre un "riesgo extremo" de ser destituido, a pesar de haber llevado a los Spurs a ganar la final de la Europa League contra el Manchester United el mes pasado.
El Tottenham terminó la temporada con una derrota en casa por 1-4 ante el Brighton y un sonrojante 17º puesto en la tabla de la Premier League.
El Telegraph afirma que se espera que el presidente de los Spurs, Daniel Levy, tome una decisión e informe a Postecoglou de su futuro en los próximos días.
Ambos han estado de vacaciones en los últimos días, aunque está previsto que se reúnan en Londres.
Tras la victoria en Bilbao, Postecoglou declaró que "quiero quedarme, aún no he completado un trabajo, pero en el momento en que acepté el cargo tenía una cosa en la cabeza y era ganar algo, quiero construir sobre ello".