Heaney ha disputado 12 temporadas en la liga, de las cuales seis y media han sido con los Los Angeles Angels. Formó parte del equipo de los Texas Rangers que conquistó la Serie Mundial en la 2023.
El zurdo cierra su carrera con un balance de 56-72, una efectividad de 4.57 y 1.156 ponches en 1.136.2 entradas lanzadas, permitiendo 1.113 hits y 339 bases por bolas.
Tras ser elegido originalmente en la 24ª ronda del Draft de la MLB 2009 por los Tampa Bay Rays, Heaney decidió ir a la universidad y jugar en Oklahoma State University. En la 2013 volvió a presentarse al draft y fue seleccionado en la novena posición por los Miami Marlins.
Heaney solo lanzó en siete partidos (cinco como abridor) con los Marlins durante su temporada de debut en la 2014, antes de ser traspasado a los Angels, donde permanecería los siguientes siete años (2015-2021).
La segunda mitad de la 2021 la disputó con los New York Yankees antes de firmar un acuerdo con los Los Angeles Dodgers en la 2022.
Permaneció con los Rangers un par de años (2023-2024) antes de marcharse a los Pittsburgh Pirates en la 2025, año en el que fue traspasado de nuevo a los Dodgers y solo lanzó en un partido.
Heaney cerró la temporada 2025 con una efectividad de 5.52 en 27 partidos (23 como abridor) y 122.1 entradas lanzadas.